# Probabilité et Statistiques

## Programme
- 7 séances
- TP en R → r-base + R Studio (linux)
- Les bases des probabilités et statistiques
- Inférence de Bayes
- ???

## Définitions
__Probabilité__ : &Eacute;tude mathématique des phénomènes caractérisés par le <u>hasard</u> et l'<u>incertitude</u> (cc. Wikipedia).
__Statistique__ : Recueillir, traiter, interpréter et présenter un ensemble de données.

## Phénomènes stochastiques (aléatoire)

### Côté probabilités
Il existe deux classes de phénomènes :

<ul>
    <li>ceux indépendants, on peut
        <ul>
            <li>Les compter</li>
            <li>faire des prédictions</li>
            <li>utiliser les lois classiques</li>
        </ul>
    </li>
    <li>ceux qui interagissent :
        <ul>
            <li>beaucoup plus complexes</li>
            <li>mieux décrire le monde réel</li>
        </ul>
    </li>
</ul>

### Côté statistiques
<ul>
    <li>les estimateurs
        <ul>
            <li>Comment mesurer des quantités qui font sens (incertitude)</li>
        </ul>
    </li>
    <li>les correlations
        <ul>
            <li>corrélations, indépendants, causalités
        </ul>
    </li>
</ul>

<ol>
    <li>Corrélations fausses : <a href="http://www.tylervigen.com/spurious-correlations" target="_blank">http://www.tylervigen.com/spurious-correlations</a></li>
    <li>Corrélation <i>vs.</i> causalité</li>
</ol>

## I. Les bases en probabilités
- Définition des probabilités
- Lois discrètes/continues
- Lois classiques

### Définition des probabilités

Une variable aléatoire \(X\)
Exemples :
1. Un lancé de pile ou face
2. Un lancé de dé

&rarr; Le résultat ne peut pas être connu à l'avance

L'ensemble des états possibles \(\Omega\) de mon expérience :

1. \(\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}\)
2. \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

On note \(|\Omega|\) le cardinal (nombre d'états)
Soit \(x\) <u>une réalisation</u> de \(X\)
Exemple :

1. \(x = \text{pile}\)
2. \(x = 3\)

Un <u>évènement</u> : Une partie (sous-ensemble) de \(\Omega\)

1. \(\{\text{pile}\}, \{\text{face}\}, \{\text{pile, face}\} ( = \Omega)\)
2. \(A\) : le résultat est inférieur ou égal à \(2\)
   \(A = \{1, 2\}\)

La réalisation de l'évènement \(A\) : soit \(x\) une réalisation, \(A\) se réalise \(\iff x \in A\)

On note \(A\) l'ensemble des sous-parties de \(\Omega\)

__Probabilité__ : Fonction mesurant la "chance" (fréquence ?) de réalisation d'un évènement de \(\Omega : P : A \rightarrow [0, 1]\)
Elle satisfait 3 axiomes :

1. \(\forall A \in A, 0 \leq P(A) \leq 1\)
2. \(P(\Omega) = 1\) (normalisation)
3. \(P(U_{i\in \mathbb{N}}A_{i}) = \sum_{i \in \mathbb{N}}{P(A_{i})}\) (les \(A_{i}\) sont disjoints)

### Opérations ensemblistes
Le complémentaire de \(A, \overline{A} = \{x \in \Omega, x \notin A\}\)
Union : \(A \cup B = \{x \in \Omega, x \in A \text{ ou } x \in B\}\)
Intersection : \(A \cap B = \{x \in B, x \in A \text{ et } x \in B\}\)

### Pourquoi on utilise des probabilités ?
&rarr; modélister des phénomènes stochastiques
&rarr; permet de comprendre la statistique (les observations macroscopiques)

## Les lois discrètes
&rarr; \(\Omega\) est un ensemble discret

<u>Bernoulli</u> : 
\(\Omega = \{0, 1\}\)
\(p(X=0) = p_{0} = 1-p_{1}\)
\(p(X=1)=p_{1}\)

1. \(0 \leq p_{0}, p_{1} \leq 1\)
2. \(p_{0} + p_{1} = 1\)

<u>On défini</u> :
- La moyenne \(m = \sum_{x \in \Omega}{p(x) \times x = 0 \times (1 - p_{1}) + 1 \times p_{1}} = p_{1}\)
- La variance : \(\sigma^{2} = \sum_{x \in \Omega}{(x^{2} - m^{2})\times p(x) = \sum_{x \in \Omega}{x^{2}\times p(x) - m^{2} \times \sum_{x \in \Omega}{p(x)}}}\)

L'étalement autour de la valeur moyenne