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\documentclass[]{article} 
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\begin{document}
 
\title{Mecânica Analítica -- Cap. 7, 8 e 9 \\ Exercícios}
\author{}
\date{}
 
\maketitle
 
\begin{enumerate}
\item Para uma partícula num potencial central, encontrar Hamiltoniana e equações de movimento, sendo 
\begin{equation*}
L=\frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2\sin{\theta}^2 \dot{\varphi}^2) - v(r)
\end{equation*}
 
\item Qual a transformação canônica gerada pela função $F_2(q,P,t) = \sum_{k=1}^{n} q_k P_k$?
 
\item Qual a transformação canônica gerada pela função $F_1(q,Q,t) = \sum_{k=1}^{n} q_k Q_k$?
 
\item Aplicar a transformação canônica gerada por $F_1(q,Q,t) = \frac{m {(q-Q)}^2}{2t}$ ao problema da partícula livre com $H=\frac{p^2}{2m}$. 
 
\item Completar a mudança de variáveis $p=\frac{1}{b^2} (p^2 + a^2 q^2)$, com \textit{a} e \textit{b} constantes, de modo a obter uma transformação canônica e aplicar ao problema do oscilador com $H=\frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}$.
 
\item Resolver oscilador harmônico com $H(p,q,t) = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}$ pelo método de Hamilton-Jacobi. 
 
\item Resolver equações de movimento do sistema com $H=\frac{1}{2m} ({p_r}^2 + \frac{p_{\theta}^2}{r^2} + \frac{p_{\phi}^2}{r^2 \sin{\theta}^2}) + a(r) + \frac{b(\theta)}{r^2}$ pelo método de Hamilton-Jacobi.
 
\item Resolver equações de movimento do sistema com $H=\frac{1}{2m} ({p_x}^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2) + mgz$ pelo método de Hamilton-Jacobi.
 
\item Resolver equações de movimento do sistema com $H=\frac{p^2}{2m} - Atx$, sendo \textit{A} constante, pelo método de Hamilton-Jacobi.
 
\item \textit{Opcional:} Exercício 9.8 do livro.
 
\item \textit{(Goldstein -- 10.14)} Sendo $V=\frac{-k}{|x|}$, encontrar $\omega$, $\nu$, $T$.
 
\item Sendo $y=\ell (1- \cos{2 \phi})$, $x=\ell (2 \phi+ \sin{2 \phi})$ e $V=mgy$, achar frequências.
 
\item Calcular parênteses de Poisson $\{ A_i,A_j\}$:
\begin{align*}
A_1 &= \frac{1}{4} (x^2 + {p_x}^2 - y^2 - {p_y}^2) \\
A_2 &= \frac{1}{2} (xy + p_x p_y) \\
A_3 &= \frac{1}{2} (x p_y - y p_x) \\
A_4 &= x^2 + y^2 + {p_x}^2 + {p_ y}^2
\end{align*}
 
\item Demonstre que a transformação abaixo é canônica.
\begin{align*}
x &= X \cos \lambda + P_y \frac{\sin \lambda}{m \omega} \\
y &= Y \cos \lambda + P_x \frac{\sin \lambda}{m \omega} \\
p_x &= - m \omega Y \sin \lambda + P_x \cos \lambda \\
p_y &= - m \omega X \sin \lambda + P_y \cos \lambda
\end{align*}
 
\item Mostre que $\phi(q,P) = qP - f(q,t)$ é geradora de $L'(q,\dot{q},t) = L(q,\dot{q},t) + \frac{d}{dt} f(q,t)$.
 
\item Se $a = \left( \frac{m \omega x + i p}{\sqrt{2 m \omega}} \right) e^{i \omega t}$, calcule $\{ \bar{a},a \}$ e reescreva a Hamiltoniana $H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m^2 \omega^2 x^2}{2}$ como $H(a,\bar{a})$.
 
\end{enumerate}
 
\end{document}